integral of cos^2(ωx+φ)

Lösung

\int cos^{2} (ω x + φ) d x

\frac{φ}{2 ω} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω x)) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{2} (ω x + φ) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{cos ^{2} ( u )}{ω} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ω} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{ω} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = φ + ω x

ein

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (φ + ω x + \frac{1}{2} sin (2 (φ + ω x)))

Vereinfache

\frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (φ + ω x + \frac{1}{2} sin (2 (φ + ω x))) : \frac{φ}{2 ω} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω x))

= \frac{φ}{2 ω} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{φ}{2 ω} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω x)) + C

\int \frac{2 + x}{x} d x

\int (2 x + \frac{2}{x ^{2}}) d x

\int (1 + tan (3 t))^{3} sec^{2} (3 t) d t

\int cos^{7} (6 x) sin (6 x) d x

\int \frac{x}{( 3 x + 4 ) ^{2}} d x