integral of 1/((x^2+4)^{1.5)}

解

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 ) ^{1.5}} d x

\frac{x}{( x ^{2} + 4 ) x ^{2} + 4} + \frac{x ^{3}}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 ) ^{1.5}} d x

(x^{2} + 4)^{1.5} = (x^{2} + 4) x^{2} + 4

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 4 ) x ^{2} + 4} d x

部分積分を適用する

= \frac{x}{( x ^{2} + 4 ) x ^{2} + 4} - \int - \frac{3 x ^{2}}{( x ^{2} + 4 ) ^{\frac{5}{2}}} d x

\int - \frac{3 x ^{2}}{( x ^{2} + 4 ) ^{\frac{5}{2}}} d x = - \frac{x ^{3}}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{x}{( x ^{2} + 4 ) x ^{2} + 4} - (- \frac{x ^{3}}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}})

簡素化

= \frac{x}{( x ^{2} + 4 ) x ^{2} + 4} + \frac{x ^{3}}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

定数を解答に追加する

= \frac{x}{( x ^{2} + 4 ) x ^{2} + 4} + \frac{x ^{3}}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C