integral of xe^{-x}cos(2x)

解答

\int x e^{- x} cos (2 x) d x

- x (\frac{1}{5} e^{- x} cos (2 x) - \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x)) - \frac{1}{25} (- 3 e^{- x} cos (2 x) - 4 e^{- x} sin (2 x)) + C

求解步骤

\int x e^{- x} cos (2 x) d x

使用换元积分法

= \int e^{u} u cos (2 u) d u

使用分布积分法

= u (\frac{2}{5} e^{u} sin (2 u) + \frac{1}{5} e^{u} cos (2 u)) - \int \frac{1}{5} (2 e^{u} sin (2 u) + e^{u} cos (2 u)) d u

\int \frac{1}{5} (2 e^{u} sin (2 u) + e^{u} cos (2 u)) d u = \frac{1}{25} (- 3 e^{u} cos (2 u) + 4 e^{u} sin (2 u))

= u (\frac{2}{5} e^{u} sin (2 u) + \frac{1}{5} e^{u} cos (2 u)) - \frac{1}{25} (- 3 e^{u} cos (2 u) + 4 e^{u} sin (2 u))

u = - x

代回

= (- x) (\frac{2}{5} e^{- x} sin (2 (- x)) + \frac{1}{5} e^{- x} cos (2 (- x))) - \frac{1}{25} (- 3 e^{- x} cos (2 (- x)) + 4 e^{- x} sin (2 (- x)))

化简

(- x) (\frac{2}{5} e^{- x} sin (2 (- x)) + \frac{1}{5} e^{- x} cos (2 (- x))) - \frac{1}{25} (- 3 e^{- x} cos (2 (- x)) + 4 e^{- x} sin (2 (- x))) : - x (\frac{1}{5} e^{- x} cos (2 x) - \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x)) - \frac{1}{25} (- 3 e^{- x} cos (2 x) - 4 e^{- x} sin (2 x))

= - x (\frac{1}{5} e^{- x} cos (2 x) - \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x)) - \frac{1}{25} (- 3 e^{- x} cos (2 x) - 4 e^{- x} sin (2 x))

解答补常数

= - x (\frac{1}{5} e^{- x} cos (2 x) - \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x)) - \frac{1}{25} (- 3 e^{- x} cos (2 x) - 4 e^{- x} sin (2 x)) + C

\int (x + 1) d x

\int 2 x (x - 3) d x

\int \frac{1}{x ^{2} + 4 x + 104} d x

\int x \cdot sin (n \cdot x) d x

\int (\frac{- 2}{x}) d x