integral of y/((y+2)(4y-1))

解

\int \frac{y}{( y + 2 ) ( 4 y - 1 )} d y

\frac{2}{9} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{36} ln ∣ 4 y - 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{y}{( y + 2 ) ( 4 y - 1 )} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{y}{( y + 2 ) ( 4 y - 1 )} : \frac{2}{9 ( y + 2 )} + \frac{1}{9 ( 4 y - 1 )}

= \int \frac{2}{9 ( y + 2 )} + \frac{1}{9 ( 4 y - 1 )} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2}{9 ( y + 2 )} d y + \int \frac{1}{9 ( 4 y - 1 )} d y

\int \frac{2}{9 ( y + 2 )} d y = \frac{2}{9} ln ∣ y + 2 ∣

\int \frac{1}{9 ( 4 y - 1 )} d y = \frac{1}{36} ln ∣ 4 y - 1 ∣

= \frac{2}{9} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{36} ln ∣ 4 y - 1 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{2}{9} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{36} ln ∣ 4 y - 1 ∣ + C