integral of sqrt(1-e^{-2x)}

Lösung

\int 1 - e^{- 2 x} d x

\frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x} + C

Schritte zur Lösung

\int 1 - e^{- 2 x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u}{2 ( - u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u}{- u + 1} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v

\frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} = \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1 d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v - \int 1 d v)

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

\int 1 d v = v

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2} - v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\frac{ln 1 - e ^{- 2 x} + 1}{2} - \frac{ln 1 - e ^{- 2 x} - 1}{2} - 1 - e^{- 2 x})

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (\frac{ln 1 - e ^{- 2 x} + 1}{2} - \frac{ln 1 - e ^{- 2 x} - 1}{2} - 1 - e^{- 2 x}) : \frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x}

= \frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 - e^{- 2 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x} + C

\int x (ln (x)) d x

\int (x^{4} - x)^{2} d x

\int 2 x^{3} + 2 x - 3 d x

\int x^{- \frac{7}{2}} d x

\int \frac{e ^{2 x}}{36 + e ^{2 x}} d x