integral of (2^x)/(1-4^x)

Lösung

\int \frac{2 ^{x}}{1 - 4 ^{x}} d x

\frac{ln ∣ 2 ^{- x} + 1 ∣ - ln ∣ 2 ^{- x} - 1 ∣}{2 ln ( 2 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 ^{x}}{1 - 4 ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{2 ^{\frac{- l n ( - u + 1 ) - 2 l n ( 2 )}{2 l n ( 2 )}}}{ln ( 2 ) u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot \int \frac{2 ^{\frac{- l n ( - u + 1 ) - 2 l n ( 2 )}{2 l n ( 2 )}}}{u} d u

Wende U-Substitution an

= - \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot \int - \frac{2}{1 - 4 v ^{2}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{ln ( 2 )} (- 2 \cdot \int \frac{1}{1 - 4 v ^{2}} d v)

Wende integrale Substitution an

= - \frac{1}{ln ( 2 )} (- 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( 1 - w ^{2} )} d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{ln ( 2 )} (- 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1 - w ^{2}} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{1 - w ^{2}} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= - \frac{1}{ln ( 2 )} (- 2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= - \frac{1}{ln ( 2 )} - 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{ln 2 \cdot 2 ^{\frac{- l n ( - ( 1 - 4 ^{x} ) + 1 ) - 2 l n ( 2 )}{2 l n ( 2 )}} + 1}{2} - \frac{ln 2 \cdot 2 ^{\frac{- l n ( - ( 1 - 4 ^{x} ) + 1 ) - 2 l n ( 2 )}{2 l n ( 2 )}} - 1}{2}

Vereinfache

- \frac{1}{ln ( 2 )} - 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{ln 2 \cdot 2 ^{\frac{- l n ( - ( 1 - 4 ^{x} ) + 1 ) - 2 l n ( 2 )}{2 l n ( 2 )}} + 1}{2} - \frac{ln 2 \cdot 2 ^{\frac{- l n ( - ( 1 - 4 ^{x} ) + 1 ) - 2 l n ( 2 )}{2 l n ( 2 )}} - 1}{2} : \frac{ln ∣ 2 ^{- x} + 1 ∣ - ln ∣ 2 ^{- x} - 1 ∣}{2 ln ( 2 )}

= \frac{ln ∣ 2 ^{- x} + 1 ∣ - ln ∣ 2 ^{- x} - 1 ∣}{2 ln ( 2 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{ln ∣ 2 ^{- x} + 1 ∣ - ln ∣ 2 ^{- x} - 1 ∣}{2 ln ( 2 )} + C

\int (4 x^{3} + 9 3 x^{2}) d x

\int \frac{1}{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} - 4 )} d x

\int \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x

\int x^{3} 15 + x^{4} d x

\int \frac{1}{4 x ^{5}} d x