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人気のある微分積分 >

integral of 1/(sqrt(x^2-x-1))

解

\int \frac{1}{x ^{2} - x - 1} d x

解

ln \frac{1}{5} (4 x^{2} - 4 x - 4) + \frac{2}{5} x - \frac{1}{5} + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x ^{2} - x - 1} d x

平方完成する

x^{2} - x - 1 : (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

= \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2}{4 u ^{2} - 5} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} - 5} d u

三角関数による置換を適用する

= 2 \cdot \int \frac{sec ( v )}{2} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sec (v) d v

共通積分を使用する:

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

代用を戻す

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2})))

簡素化

2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2}))) : ln \frac{1}{5} (4 x^{2} - 4 x - 4) + \frac{2}{5} x - \frac{1}{5}

= ln \frac{1}{5} (4 x^{2} - 4 x - 4) + \frac{2}{5} x - \frac{1}{5}

定数を解答に追加する

= ln \frac{1}{5} (4 x^{2} - 4 x - 4) + \frac{2}{5} x - \frac{1}{5} + C

グラフ

人気の例

integral of (6x)/((2-3x^2)^3)

\int \frac{6 x}{( 2 - 3 x ^{2} ) ^{3}} d x

integral of 15x^{-8}

\int 15 x^{- 8} d x

integral of-sin(x)cos^5(x)

\int - sin (x) cos^{5} (x) d x

integral of 3te^{-3t}

\int 3 t e^{- 3 t} d t

integral of (4-7x)/(sqrt(x^2+2x-8))

\int \frac{4 - 7 x}{x ^{2} + 2 x - 8} d x