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integral of 1/(v^2+3v+2)

Lösung

\int \frac{1}{v ^{2} + 3 v + 2} d v

- ln ∣ 2 v + 4 ∣ + ln ∣ 2 v + 2 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{v ^{2} + 3 v + 2} d v

Vervollständige das Quadrat

v^{2} + 3 v + 2 : (v + \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}

= \int \frac{1}{( v + \frac{3}{2} ) ^{2} - \frac{1}{4}} d v

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{4 u ^{2} - 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

4 u^{2} - 1 : - (- 4 u^{2} + 1)

= 4 \cdot \int \frac{1}{- ( - 4 u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 (- \int \frac{1}{- 4 u ^{2} + 1} d u)

Wende integrale Substitution an

= 4 (- \int \frac{1}{2 ( - w ^{2} + 1 )} d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 4 (- \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 4 (- \frac{1}{2} (\frac{ln 2 ( v + \frac{3}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln 2 ( v + \frac{3}{2} ) - 1}{2}))

Vereinfache

4 (- \frac{1}{2} (\frac{ln 2 ( v + \frac{3}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln 2 ( v + \frac{3}{2} ) - 1}{2})) : - ln ∣ 2 v + 4 ∣ + ln ∣ 2 v + 2 ∣

= - ln ∣ 2 v + 4 ∣ + ln ∣ 2 v + 2 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln ∣ 2 v + 4 ∣ + ln ∣ 2 v + 2 ∣ + C

\int \frac{1}{x ^{3} + 2 x ^{2} - 5 x - 6} d x

\int 4 x^{3} - 1 d x

\int x^{2} arccot (x) d x

\int \frac{1}{25 + 4 x ^{2}} d x

\int sin (x) (2 x + 2) d x