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人気のある微分積分 >

integral of 1/(e^{-5x)+2}

解

\int \frac{1}{e ^{- 5 x} + 2} d x

解

\frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2 + C

解答ステップ

\int \frac{1}{e ^{- 5 x} + 2} d x

u置換積分法を適用する

= \int - \frac{1}{5 ( e ^{u} + 2 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{e ^{u} + 2} d u

u置換積分法を適用する

= - \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{v ( v + 2 )} d v

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{v ( v + 2 )} : \frac{1}{2 v} - \frac{1}{2 ( v + 2 )}

= - \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{2 v} - \frac{1}{2 ( v + 2 )} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{5} (\int \frac{1}{2 v} d v - \int \frac{1}{2 ( v + 2 )} d v)

\int \frac{1}{2 v} d v = \frac{1}{2} ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{2 ( v + 2 )} d v = \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣

= - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} ln ∣ v ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣)

代用を戻す

= - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} ln e^{- 5 x} - \frac{1}{2} ln e^{- 5 x} + 2)

簡素化

- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} ln e^{- 5 x} - \frac{1}{2} ln e^{- 5 x} + 2) : \frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2

= \frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2

定数を解答に追加する

= \frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2 + C

グラフ

人気の例

integral of (x^3)/(sqrt(1-9x^8))

\int \frac{x ^{3}}{1 - 9 x ^{8}} d x

integral of (10)/((r-1)^2(r^2+9))

\int \frac{10}{( r - 1 ) ^{2} ( r ^{2} + 9 )} d r

integral of (x^2-9x-1)

\int (x^{2} - 9 x - 1) d x

integral of (2x)/((1+x)(1+x^2)^2)

\int \frac{2 x}{( 1 + x ) ( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

integral of (3/(x^3)-1/(\sqrt[3]{x)})

\int (\frac{3}{x ^{3}} - \frac{1}{3 x}) d x