integral of x/(x^4+a^4)

Lösung

\int \frac{x}{x ^{4} + a ^{4}} d x

\frac{1}{2 a ^{2}} arctan (\frac{x ^{2}}{a ^{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{x ^{4} + a ^{4}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( u ^{2} + a ^{4} )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + a ^{4}} d u

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{a ^{2} ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a ^{2}} arctan (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a ^{2}} arctan (\frac{x ^{2}}{a ^{2}})

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a ^{2}} arctan (\frac{x ^{2}}{a ^{2}}) : \frac{1}{2 a ^{2}} arctan (\frac{x ^{2}}{a ^{2}})

= \frac{1}{2 a ^{2}} arctan (\frac{x ^{2}}{a ^{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2 a ^{2}} arctan (\frac{x ^{2}}{a ^{2}}) + C

\int 4 e^{2 x} cos (yz) + 3 y^{2} d x

\int \frac{x}{( 2 x - 1 )} d x

\int \frac{x + 5}{x + 4} d x

\int (x^{2} + 8) (x - 8) d x

\int \frac{2 x ^{4} - x ^{3} - x + 1}{x ^{3} - 1} d x