integral of (cot(x))/(1+sin(x))

Lösung

\int \frac{cot ( x )}{1 + sin ( x )} d x

ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cot ( x )}{1 + sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1}

= - \int - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

= - (- ln ∣ u ∣ + 2 ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= - (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1)

Vereinfache

= ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln tan (\frac{x}{2}) - 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

\int \frac{1}{2 + 5 x ^{2}} d x

\int \frac{1}{x ^{5}} + 1 d x

\int \frac{8}{( 4 - x ) ^{3}} d x

\int (x + 1) cos (x) d x

\int \frac{5 x}{1 - x ^{2}} d x