integral of (13)/((x-2)(x^2+9))

Lösung

\int \frac{13}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 9 )} d x

ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{6} (- 3 ln \frac{x ^{2}}{9} + 1 - 4 arctan (\frac{x}{3})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{13}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 9 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 13 \cdot \int \frac{1}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 9 )} d x

Wende integrale Substitution an

= 13 \cdot \int \frac{1}{3 ( 3 u - 2 ) ( u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 13 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{( 3 u - 2 ) ( u ^{2} + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{( 3 u - 2 ) ( u ^{2} + 1 )} : \frac{9}{13 ( 3 u - 2 )} + \frac{- 3 u - 2}{13 ( u ^{2} + 1 )}

= 13 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{9}{13 ( 3 u - 2 )} + \frac{- 3 u - 2}{13 ( u ^{2} + 1 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 13 \cdot \frac{1}{3} (\int \frac{9}{13 ( 3 u - 2 )} d u + \int \frac{- 3 u - 2}{13 ( u ^{2} + 1 )} d u)

\int \frac{9}{13 ( 3 u - 2 )} d u = \frac{3}{13} ln ∣ 3 u - 2 ∣

\int \frac{- 3 u - 2}{13 ( u ^{2} + 1 )} d u = \frac{1}{13} (- \frac{3}{2} ln u^{2} + 1 - 2 arctan (u))

= 13 \cdot \frac{1}{3} (\frac{3}{13} ln ∣ 3 u - 2 ∣ + \frac{1}{13} (- \frac{3}{2} ln u^{2} + 1 - 2 arctan (u)))

Setze in

u = \frac{x}{3}

ein

= 13 \cdot \frac{1}{3} (\frac{3}{13} ln 3 \cdot \frac{x}{3} - 2 + \frac{1}{13} (- \frac{3}{2} ln (\frac{x}{3})^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{x}{3})))

Vereinfache

13 \cdot \frac{1}{3} (\frac{3}{13} ln 3 \cdot \frac{x}{3} - 2 + \frac{1}{13} (- \frac{3}{2} ln (\frac{x}{3})^{2} + 1 - 2 arctan (\frac{x}{3}))) : ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{6} (- 3 ln \frac{x ^{2}}{9} + 1 - 4 arctan (\frac{x}{3}))

= ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{6} (- 3 ln \frac{x ^{2}}{9} + 1 - 4 arctan (\frac{x}{3}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{6} (- 3 ln \frac{x ^{2}}{9} + 1 - 4 arctan (\frac{x}{3})) + C

x \to 7 + lim (\frac{1}{x + 7})

x \to 0 lim (\frac{2 sin ( 3 x )}{5 x})

\frac{\partial}{\partial x} (9 x^{7} cos (y^{4}))

y^{^{''}} - 3 y^{^{'}} - 4 y = e^{3 t}

a re a y = \frac{x ^{3}}{2} + \frac{x ^{2}}{2} - 2 x, y = \frac{x ^{2}}{2}