integral of 3/(3+e^x)

Lösung

\int \frac{3}{3 + e ^{x}} d x

x - ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{3 + e ^{x}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{3 + e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{u ( 3 + u )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( 3 + u )} : \frac{1}{3 u} - \frac{1}{3 ( u + 3 )}

= 3 \cdot \int \frac{1}{3 u} - \frac{1}{3 ( u + 3 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (\int \frac{1}{3 u} d u - \int \frac{1}{3 ( u + 3 )} d u)

\int \frac{1}{3 u} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{3 ( u + 3 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u + 3 ∣

= 3 (\frac{1}{3} ln ∣ u ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ u + 3 ∣)

Setze in

u = e^{x}

ein

= 3 (\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 3 ∣)

Vereinfache

3 (\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 3 ∣) : x - ln ∣ e^{x} + 3 ∣

= x - ln ∣ e^{x} + 3 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x - ln ∣ e^{x} + 3 ∣ + C

y^{^{''}} + y^{^{'}} - 30 y = 0, y (0) = 2, y^{^{'}} (0) = - 2

(2 x + 1)^{^{'}}

\frac{d}{d x} (\frac{- 1}{x})

\frac{d}{d x} (460 (1 + \frac{x}{x ^{2} + 80}))

\int \frac{5 x - 2}{( x - 2 ) ^{2}} d x