inverselaplace (5s+3)/((s-1)(s^2+2s+5))

解

逆ラプラス

\frac{5 s + 3}{( s - 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 5 )}

e^{t} - e^{- t} cos (2 t) + \frac{3}{2} e^{- t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{5 s + 3}{( s - 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 5 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{5 s + 3}{( s - 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 5 )} : \frac{1}{s - 1} + \frac{- s + 2}{s ^{2} + 2 s + 5}

= L^{- 1} {\frac{1}{s - 1} + \frac{- s + 2}{s ^{2} + 2 s + 5}}

拡張

\frac{- s + 2}{s ^{2} + 2 s + 5} : - \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} + 3 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{1}{s - 1} - \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} + 3 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s - 1}} - L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} + 3 L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{s - 1}} : e^{t}

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= e^{t} - e^{- t} cos (2 t) + 3 e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

e^{t} - e^{- t} cos (2 t) + 3 e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t) : e^{t} - e^{- t} cos (2 t) + \frac{3}{2} e^{- t} sin (2 t)

= e^{t} - e^{- t} cos (2 t) + \frac{3}{2} e^{- t} sin (2 t)