integral of 5sqrt(1-x^2)

Lösung

\int 5 1 - x^{2} d x

\frac{5}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 5 1 - x^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int 1 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 5 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 5 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 5 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= 5 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Vereinfache

5 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) : \frac{5}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

= \frac{5}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{5}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

\int (e^{- 5 x}) d x

x y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3} + y^{3}

\int - \frac{2 x ^{3} + 24 x}{x ^{4} - 16} d x

(1 + y^{2}) d x = x d y

d er i v a t i v e y = x