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integral of (14)/((49x^2+1)^2)

Lösung

\int \frac{14}{( 49 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

arctan (7 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (7 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{14}{( 49 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 14 \cdot \int \frac{1}{( 49 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= 14 \cdot \int \frac{1}{7 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (arctan (7 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (7 x)))

Vereinfache

14 \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (arctan (7 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (7 x))) : arctan (7 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (7 x))

= arctan (7 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (7 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (7 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (7 x)) + C

d er i v a t i v e f (x) = 2 x^{2} - 9 x + 10

\int x 5 5 - x^{2} d x

\int \frac{x - 3}{x} d x

\int x^{2} 2^{x} d x

n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{3 ^{n}}