integral of (2e^{2x})/(e^{2x)+16e^x+63}

Lösung

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 16 e ^{x} + 63} d x

ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 16 e ^{x} + 63} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 16 e ^{x} + 63} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 16 u + 63} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 16 u + 63 : (u + 8)^{2} - 1

= 2 \cdot \int \frac{u}{( u + 8 ) ^{2} - 1} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{v - 8}{v ^{2} - 1} d v

Multipliziere aus

\frac{v - 8}{v ^{2} - 1} : \frac{v}{v ^{2} - 1} - \frac{8}{v ^{2} - 1}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v - \int \frac{8}{v ^{2} - 1} d v)

\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} - 1

\int \frac{8}{v ^{2} - 1} d v = - 8 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)

= 2 (\frac{1}{2} ln v^{2} - 1 - (- 8 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)))

Ersetze zurück

= 2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 8)^{2} - 1 - (- 8 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 - 1 ∣)))

Vereinfache

2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 8)^{2} - 1 - (- 8 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 - 1 ∣))) : ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣

= ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ + C

s im pl i f y ln (x^{6})

\int_{0}^{1} \frac{x ^{4}}{x ^{5} - 1} d x

n = 0 \sum \infty 2 (- 5)^{n}

in v erse l a pl a ce \frac{1}{s ^{3} - 7 s}

y^{^{'''}} + 64 y^{^{'}} = 0