интеграл от (sec^3(θ))/(tan(θ))

Решение

\int \frac{sec ^{3} ( θ )}{tan ( θ )} d θ

sec (θ) + ln tan (\frac{θ}{2}) + C

Шаги решения

\int \frac{sec ^{3} ( θ )}{tan ( θ )} d θ

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{sec ^{3} ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ )} d θ

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= \int sec^{3} (θ) cot (θ) d θ

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{sec ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} d θ

Применить интегрирование по частям

= sec (θ) - \int - cot (θ) csc (θ) tan (θ) d θ

\int - cot (θ) csc (θ) tan (θ) d θ = - ln tan (\frac{θ}{2})

= sec (θ) - (- ln tan (\frac{θ}{2}))

После упрощения получаем

= sec (θ) + ln tan (\frac{θ}{2})

Добавить константу к решению

= sec (θ) + ln tan (\frac{θ}{2}) + C