integral of sqrt(a^2-z^2)

Lösung

\int a^{2} - z^{2} d z

\frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{z}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{z}{a}))) + C

Schritte zur Lösung

\int a^{2} - z^{2} d z

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int a^{2} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a^{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= a^{2} \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{a} z)

ein

= a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} z)))

Vereinfache

a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} z))) : \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{z}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{z}{a})))

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{z}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{z}{a})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{z}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{z}{a}))) + C

\frac{\partial}{\partial x} (x e^{x} + 2)

d er i v a t i v e y = (5 x + 2)^{5}

\frac{d}{d x} (\frac{3}{4 x ^{\frac{5}{2}}})

t an g e n t x^{3} + x

in v erse l a pl a ce {\frac{1}{( s - 4 ) ^{6}}}