интеграл от (cot(bx)+tan(bx))^2

Решение

\int (cot (b x) + tan (b x))^{2} d x

\frac{1}{b} (- cot (b x) + tan (b x)) + C

Шаги решения

\int (cot (b x) + tan (b x))^{2} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{( cot ( u ) + tan ( u ) ) ^{2}}{b} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{b} \cdot \int (cot (u) + tan (u))^{2} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{b} \cdot \int \frac{v ^{2} + 1}{v ^{2}} d v

\frac{v ^{2} + 1}{v ^{2}} = \frac{1}{v ^{2}} + 1

= \frac{1}{b} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} + 1 d v

Примените правило возведения в степень:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{v ^{2}} = v^{- 2}

= \frac{1}{b} \cdot \int v^{- 2} + 1 d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{b} (\int v^{- 2} d v + \int 1 d v)

\int v^{- 2} d v = - \frac{1}{v}

\int 1 d v = v

= \frac{1}{b} (- \frac{1}{v} + v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{b} (- \frac{1}{tan ( b x )} + tan (b x))

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{1}{tan ( x )} = cot (x)

= \frac{1}{b} (- cot (b x) + tan (b x))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{b} (- cot (b x) + tan (b x)) + C