laplacetransform {(cos(3t)-9)^2}

解

ラプラス変換

{(cos (3 t) - 9)^{2}}

\frac{1}{2 s} + \frac{s}{2 ( s ^{2} + 36 )} - \frac{18 s}{s ^{2} + 9} + \frac{81}{s}

解答ステップ

L {(cos (3 t) - 9)^{2}}

拡張

(cos (3 t) - 9)^{2} : cos^{2} (3 t) - 18 cos (3 t) + 81

= L {cos^{2} (3 t) - 18 cos (3 t) + 81}

三角関数の公式を使用して書き換える

L {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (6 t) - 18 cos (3 t) + 81}

ラプラス変形の線形性を使用する:

関数

f (t), g (t)

と定数

a, b : L {a \cdot f (t) + b \cdot g (t)} = a \cdot L {f (t)} + b \cdot L {g (t)}

= L {\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} L {cos (6 t)} - 18 L {cos (3 t)} + L {81}

L {\frac{1}{2}} : \frac{1}{2 s}

L {cos (6 t)} : \frac{s}{s ^{2} + 36}

L {cos (3 t)} : \frac{s}{s ^{2} + 9}

L {81} : \frac{81}{s}

= \frac{1}{2 s} + \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{s ^{2} + 36} - 18 \cdot \frac{s}{s ^{2} + 9} + \frac{81}{s}

改良

\frac{1}{2 s} + \frac{1}{2} \frac{s}{s ^{2} + 36} - 18 \frac{s}{s ^{2} + 9} + \frac{81}{s} : \frac{1}{2 s} + \frac{s}{2 ( s ^{2} + 36 )} - \frac{18 s}{s ^{2} + 9} + \frac{81}{s}

= \frac{1}{2 s} + \frac{s}{2 ( s ^{2} + 36 )} - \frac{18 s}{s ^{2} + 9} + \frac{81}{s}