integral of (2x-3)/(3x^4+7x^2)

解

\int \frac{2 x - 3}{3 x ^{4} + 7 x ^{2}} d x

\frac{2}{7} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{7 x} + \frac{1}{7} (- ln 3 x^{2} + 7 + \frac{3 3}{7} arctan (\frac{3}{7} x)) + C

解答ステップ

\int \frac{2 x - 3}{3 x ^{4} + 7 x ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{2 x - 3}{3 x ^{4} + 7 x ^{2}} : \frac{2}{7 x} - \frac{3}{7 x ^{2}} + \frac{- 6 x + 9}{7 ( 3 x ^{2} + 7 )}

= \int \frac{2}{7 x} - \frac{3}{7 x ^{2}} + \frac{- 6 x + 9}{7 ( 3 x ^{2} + 7 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2}{7 x} d x - \int \frac{3}{7 x ^{2}} d x + \int \frac{- 6 x + 9}{7 ( 3 x ^{2} + 7 )} d x

\int \frac{2}{7 x} d x = \frac{2}{7} ln ∣ x ∣

\int \frac{3}{7 x ^{2}} d x = - \frac{3}{7 x}

\int \frac{- 6 x + 9}{7 ( 3 x ^{2} + 7 )} d x = \frac{1}{7} (- ln 3 x^{2} + 7 + \frac{3 3}{7} arctan (\frac{3}{7} x))

= \frac{2}{7} ln ∣ x ∣ - (- \frac{3}{7 x}) + \frac{1}{7} (- ln 3 x^{2} + 7 + \frac{3 3}{7} arctan (\frac{3}{7} x))

簡素化

= \frac{2}{7} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{7 x} + \frac{1}{7} (- ln 3 x^{2} + 7 + \frac{3 3}{7} arctan (\frac{3}{7} x))

定数を解答に追加する

= \frac{2}{7} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{7 x} + \frac{1}{7} (- ln 3 x^{2} + 7 + \frac{3 3}{7} arctan (\frac{3}{7} x)) + C