интеграл с 0 до pi от pi(sin(x))^2

Решение

\int_{0}^{π} π (sin (x))^{2} d x

\frac{π ^{2}}{2}

десятичными цифрами

4.93480 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{π} π (sin (x))^{2} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= π \cdot \int_{0}^{π} (sin (x))^{2} d x

После упрощения получаем

= π \cdot \int_{0}^{π} sin^{2} (x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= π \cdot \int_{0}^{π} \frac{1 - cos ( 2 x )}{2} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= π \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{π} 1 - cos (2 x) d x

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= π \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} 1 d x - \int_{0}^{π} cos (2 x) d x)

\int_{0}^{π} 1 d x = π

\int_{0}^{π} cos (2 x) d x = 0

= π \frac{1}{2} (π - 0)

Упростите

π \frac{1}{2} (π - 0) : \frac{π ^{2}}{2}

= \frac{π ^{2}}{2}