integral of (3y^4+3y^2-1)/(y^3+y)

解

\int \frac{3 y ^{4} + 3 y ^{2} - 1}{y ^{3} + y} d y

\frac{3 y ^{2}}{2} - ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln y^{2} + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{3 y ^{4} + 3 y ^{2} - 1}{y ^{3} + y} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{3 y ^{4} + 3 y ^{2} - 1}{y ^{3} + y} : 3 y - \frac{1}{y} + \frac{y}{y ^{2} + 1}

= \int 3 y - \frac{1}{y} + \frac{y}{y ^{2} + 1} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 3 y d y - \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y ^{2} + 1} d y

\int 3 y d y = \frac{3 y ^{2}}{2}

\int \frac{1}{y} d y = ln ∣ y ∣

\int \frac{y}{y ^{2} + 1} d y = \frac{1}{2} ln y^{2} + 1

= \frac{3 y ^{2}}{2} - ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln y^{2} + 1

定数を解答に追加する

= \frac{3 y ^{2}}{2} - ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln y^{2} + 1 + C