integral of (x+4)/(sqrt(x^2+2x+5))

解

\int \frac{x + 4}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

x^{2} + 2 x + 5 + 3 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x^{2} + 2 x + 5) + C

解答ステップ

\int \frac{x + 4}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

拡張

\frac{x + 4}{x ^{2} + 2 x + 5} : \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 5} + \frac{4}{x ^{2} + 2 x + 5}

= \int \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 5} + \frac{4}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 5} d x + \int \frac{4}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

\int \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = x^{2} + 2 x + 5 - ln (\frac{1}{2} x + 1 + x^{2} + 2 x + 5)

\int \frac{4}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x^{2} + 2 x + 5)

= x^{2} + 2 x + 5 - ln (\frac{1}{2} x + 1 + x^{2} + 2 x + 5) + 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x^{2} + 2 x + 5)

簡素化

= x^{2} + 2 x + 5 + 3 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x^{2} + 2 x + 5)

定数を解答に追加する

= x^{2} + 2 x + 5 + 3 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x^{2} + 2 x + 5) + C