integral of (4e^{2x})/(e^{2x)+12e^x+32}

Lösung

\int \frac{4 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 32} d x

4 (2 ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - ln ∣ e^{x} + 4 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 32} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 32} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 12 u + 32} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 12 u + 32 : (u + 6)^{2} - 4

= 4 \cdot \int \frac{u}{( u + 6 ) ^{2} - 4} d u

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{v - 6}{v ^{2} - 4} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{v - 6}{v ^{2} - 4} : \frac{2}{v + 2} - \frac{1}{v - 2}

= 4 \cdot \int \frac{2}{v + 2} - \frac{1}{v - 2} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int \frac{2}{v + 2} d v - \int \frac{1}{v - 2} d v)

\int \frac{2}{v + 2} d v = 2 ln ∣ v + 2 ∣

\int \frac{1}{v - 2} d v = ln ∣ v - 2 ∣

= 4 (2 ln ∣ v + 2 ∣ - ln ∣ v - 2 ∣)

Ersetze zurück

= 4 (2 ln ∣ e^{x} + 6 + 2 ∣ - ln ∣ e^{x} + 6 - 2 ∣)

Vereinfache

= 4 (2 ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - ln ∣ e^{x} + 4 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (2 ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - ln ∣ e^{x} + 4 ∣) + C

\int \frac{2 x ^{2} - 3 x + 4}{2 x - 7} d x

\int \frac{x ^{6} - x ^{3} + 1}{x ^{4} + 9 x ^{2}} d x

x \to \infty lim (\frac{lo g _{4} ( x )}{lo g _{9} ( x )})

\int_{1}^{5} x - 1 d x

\int \frac{3}{7} x^{- \frac{1}{7}} d x