integral of-(sin(ln(x))sin(2ln(x)))/(2x)

Lösung

\int - \frac{sin ( ln ( x ) ) sin ( 2 ln ( x ) )}{2 x} d x

- \frac{1}{4} (sin (ln (x)) - \frac{1}{3} sin (3 ln (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int - \frac{sin ( ln ( x ) ) sin ( 2 ln ( x ) )}{2 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sin ( ln ( x ) ) sin ( 2 ln ( x ) )}{x} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{- cos ( 3 ln ( x ) ) + cos ( - ln ( x ) )}{2 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{- cos ( 3 ln ( x ) ) + cos ( - ln ( x ) )}{x} d x

Vereinfache

\frac{- cos ( 3 ln ( x ) ) + cos ( - ln ( x ) )}{x} : \frac{cos ( ln ( x ) ) - cos ( 3 ln ( x ) )}{x}

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{cos ( ln ( x ) ) - cos ( 3 ln ( x ) )}{x} d x

Multipliziere aus

\frac{cos ( ln ( x ) ) - cos ( 3 ln ( x ) )}{x} : \frac{cos ( ln ( x ) )}{x} - \frac{cos ( 3 ln ( x ) )}{x}

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{cos ( ln ( x ) )}{x} - \frac{cos ( 3 ln ( x ) )}{x} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int \frac{cos ( ln ( x ) )}{x} d x - \int \frac{cos ( 3 ln ( x ) )}{x} d x)

\int \frac{cos ( ln ( x ) )}{x} d x = sin (ln (x))

\int \frac{cos ( 3 ln ( x ) )}{x} d x = \frac{1}{3} sin (3 ln (x))

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (sin (ln (x)) - \frac{1}{3} sin (3 ln (x)))

Vereinfache

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (sin (ln (x)) - \frac{1}{3} sin (3 ln (x))) : - \frac{1}{4} (sin (ln (x)) - \frac{1}{3} sin (3 ln (x)))

= - \frac{1}{4} (sin (ln (x)) - \frac{1}{3} sin (3 ln (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} (sin (ln (x)) - \frac{1}{3} sin (3 ln (x))) + C

\int \frac{4 x ^{2} - 2 x + 1}{4 x ^{3} - x} d x

\frac{d}{d x} (\frac{2 x ^{2} + 4 x + 4}{x})

\frac{d}{d x} (\frac{1 - 4 x - x ^{2}}{x ^{2} - 5})

\int sin^{3} (2 x) cos^{7} (x) d x

\int \frac{1}{x ^{2} - 6 x - 7} d x