integral of e^r(2+3e^r)^{3/2}

解答

\int e^{r} (2 + 3 e^{r})^{\frac{3}{2}} d r

\frac{2}{5} e^{r} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{15} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}} + C

求解步骤

\int e^{r} (2 + 3 e^{r})^{\frac{3}{2}} d r

使用换元积分法

= \int (2 + 3 u)^{\frac{3}{2}} d u

使用分布积分法

= u (2 + 3 u)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{9}{2} u (2 + 3 u)^{\frac{1}{2}} d u

\int \frac{9}{2} u (2 + 3 u)^{\frac{1}{2}} d u = \frac{1}{15} (9 u - 4) (3 u + 2)^{\frac{3}{2}}

= u (2 + 3 u)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} (9 u - 4) (3 u + 2)^{\frac{3}{2}}

u = e^{r}

代回

= e^{r} (2 + 3 e^{r})^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} (9 e^{r} - 4) (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}}

化简

e^{r} (2 + 3 e^{r})^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} (9 e^{r} - 4) (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}} : \frac{2}{5} e^{r} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{15} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}}

= \frac{2}{5} e^{r} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{15} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}}

解答补常数

= \frac{2}{5} e^{r} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{15} (3 e^{r} + 2)^{\frac{3}{2}} + C

\int cos (w n t) d t

\frac{d}{d x} (y - 5 ln ∣ y ∣ + x y)

d er i v a t i v e - \frac{2 x}{y}

\int_{1}^{2} \frac{5}{x ^{3} + 4 x} d x

x \to 0 + lim (\frac{1}{x ^{3}})