integral of (3x^4-2x+5)/(x+1)

解

\int \frac{3 x ^{4} - 2 x + 5}{x + 1} d x

\frac{3 x ^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 5 x + 10 ln ∣ x + 1 ∣ - 2 + C

解答ステップ

\int \frac{3 x ^{4} - 2 x + 5}{x + 1} d x

拡張

\frac{3 x ^{4} - 2 x + 5}{x + 1} : \frac{3 x ^{4}}{x + 1} - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{5}{x + 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 x ^{4}}{x + 1} d x - \int \frac{2 x}{x + 1} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x

\int \frac{3 x ^{4}}{x + 1} d x = \frac{3 x ^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 3 x + 3 ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{2 x}{x + 1} d x = 2 (x + 1 - ln ∣ x + 1 ∣)

\int \frac{5}{x + 1} d x = 5 ln ∣ x + 1 ∣

= \frac{3 x ^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 3 x + 3 ln ∣ x + 1 ∣ - 2 (x + 1 - ln ∣ x + 1 ∣) + 5 ln ∣ x + 1 ∣

簡素化

\frac{3 x ^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 3 x + 3 ln ∣ x + 1 ∣ - 2 (x + 1 - ln ∣ x + 1 ∣) + 5 ln ∣ x + 1 ∣ : \frac{3 x ^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 5 x + 10 ln ∣ x + 1 ∣ - 2

= \frac{3 x ^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 5 x + 10 ln ∣ x + 1 ∣ - 2

定数を解答に追加する

= \frac{3 x ^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 5 x + 10 ln ∣ x + 1 ∣ - 2 + C