integral of (x^5-6x^3-6x^2-8)/(x^3-6x)

解

\int \frac{x ^{5} - 6 x ^{3} - 6 x ^{2} - 8}{x ^{3} - 6 x} d x

\frac{x ^{3}}{3} + \frac{4}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{11}{3} ln x + 6 - \frac{11}{3} ln x - 6 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{5} - 6 x ^{3} - 6 x ^{2} - 8}{x ^{3} - 6 x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{5} - 6 x ^{3} - 6 x ^{2} - 8}{x ^{3} - 6 x} : x^{2} + \frac{4}{3 x} - \frac{11}{3 ( x + 6 )} - \frac{11}{3 ( x - 6 )}

= \int x^{2} + \frac{4}{3 x} - \frac{11}{3 ( x + 6 )} - \frac{11}{3 ( x - 6 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{2} d x + \int \frac{4}{3 x} d x - \int \frac{11}{3 ( x + 6 )} d x - \int \frac{11}{3 ( x - 6 )} d x

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}

\int \frac{4}{3 x} d x = \frac{4}{3} ln ∣ x ∣

\int \frac{11}{3 ( x + 6 )} d x = \frac{11}{3} ln x + 6

\int \frac{11}{3 ( x - 6 )} d x = \frac{11}{3} ln x - 6

= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{4}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{11}{3} ln x + 6 - \frac{11}{3} ln x - 6

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{4}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{11}{3} ln x + 6 - \frac{11}{3} ln x - 6 + C