интеграл от sqrt(2+2sin(x))

Решение

\int 2 + 2 sin (x) d x

22 (- cos (\frac{x}{2}) + sin (\frac{x}{2})) + C

Шаги решения

\int 2 + 2 sin (x) d x

коэффициент

2 + 2 sin (x) : 2 (sin (x) + 1)

= \int 2 (sin (x) + 1) d x

Применить радикальное правило:

n ab = n a n b,

, предположив

a \geq 0, b \geq 0

= \int 2 sin (x) + 1 d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin (x) + 1 d x

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int \frac{2 ( u + 1 )}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{u + 1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u

Расширить

\frac{u + 1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} : \frac{u}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} + \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}}

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (\int \frac{u}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u + \int \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u)

\int \frac{u}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u = - \frac{1}{1 + u ^{2}}

\int \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u = \frac{u}{1 + u ^{2}}

= 2 \cdot 2 (- \frac{1}{1 + u ^{2}} + \frac{u}{1 + u ^{2}})

Делаем обратную замену

u = tan (\frac{x}{2})

= 2 \cdot 2 - \frac{1}{1 + tan ^{2} ( \frac{x}{2} )} + \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{1 + tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}

Упростите

2 \cdot 2 - \frac{1}{1 + tan ^{2} ( \frac{x}{2} )} + \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{1 + tan ^{2} ( \frac{x}{2} )} : 22 (- cos (\frac{x}{2}) + sin (\frac{x}{2}))

= 22 (- cos (\frac{x}{2}) + sin (\frac{x}{2}))

Добавить константу к решению

= 22 (- cos (\frac{x}{2}) + sin (\frac{x}{2})) + C