integral of 4x^3e^x

解

\int 4 x^{3} e^{x} d x

4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))) + C

解答ステップ

\int 4 x^{3} e^{x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int x^{3} e^{x} d x

部分積分を適用する

= 4 (x^{3} e^{x} - \int 3 x^{2} e^{x} d x)

\int 3 x^{2} e^{x} d x = 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))

= 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})))

定数を解答に追加する

= 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))) + C