интеграл от (sec(x))/(1-tan(x))

Решение

\int \frac{sec ( x )}{1 - tan ( x )} d x

2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} - 1) + C

Шаги решения

\int \frac{sec ( x )}{1 - tan ( x )} d x

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

= \int \frac{1}{cos ( x ) - sin ( x )} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{2}{1 - u ^{2} - 2 u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{1 - u ^{2} - 2 u} d u

Заполните квадрат

1 - u^{2} - 2 u : - (u + 1)^{2} + 2

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( u + 1 ) ^{2} + 2} d u

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 2} d v

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( - w ^{2} + 1 )} d w

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2})

Делаем обратную замену

= 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} - 1}{2}

Упростите

2 \cdot \frac{1}{2} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} - 1}{2} : 2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} - 1)

= 2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} - 1)

Добавить константу к решению

= 2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{2} - 1) + C