integral of 4/(4x^2-4x+5)

Lösung

\int \frac{4}{4 x ^{2} - 4 x + 5} d x

arctan (x - \frac{1}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4}{4 x ^{2} - 4 x + 5} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 x ^{2} - 4 x + 5} d x

Vervollständige das Quadrat

4 x^{2} - 4 x + 5 : 4 (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 ( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + 4} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 4} d u

\frac{1}{4 u ^{2} + 4} = \frac{1}{4} \frac{1}{u ^{2} + 1}

= 4 \cdot \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= 4 \cdot \frac{1}{4} arctan (u)

Setze in

u = x - \frac{1}{2}

ein

= 4 \cdot \frac{1}{4} arctan (x - \frac{1}{2})

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{4} arctan (x - \frac{1}{2}) : arctan (x - \frac{1}{2})

= arctan (x - \frac{1}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (x - \frac{1}{2}) + C

x \to 0 lim (2 x + x)

\int e^{- 2 θ} cos (θ) d θ

x \to 0 lim (x cos (\frac{2}{x}))

x \to 1 + lim (\frac{8}{1 - x})

x = y