integral of (6e^{2x})/(e^{2x)+10e^x+16}

Lösung

\int \frac{6 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 10 e ^{x} + 16} d x

6 (\frac{4}{3} ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 2 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{6 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 10 e ^{x} + 16} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 10 e ^{x} + 16} d x

Wende U-Substitution an

= 6 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 10 u + 16} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 10 u + 16 : (u + 5)^{2} - 9

= 6 \cdot \int \frac{u}{( u + 5 ) ^{2} - 9} d u

Wende U-Substitution an

= 6 \cdot \int \frac{v - 5}{v ^{2} - 9} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{v - 5}{v ^{2} - 9} : \frac{4}{3 ( v + 3 )} - \frac{1}{3 ( v - 3 )}

= 6 \cdot \int \frac{4}{3 ( v + 3 )} - \frac{1}{3 ( v - 3 )} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6 (\int \frac{4}{3 ( v + 3 )} d v - \int \frac{1}{3 ( v - 3 )} d v)

\int \frac{4}{3 ( v + 3 )} d v = \frac{4}{3} ln ∣ v + 3 ∣

\int \frac{1}{3 ( v - 3 )} d v = \frac{1}{3} ln ∣ v - 3 ∣

= 6 (\frac{4}{3} ln ∣ v + 3 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ v - 3 ∣)

Ersetze zurück

= 6 (\frac{4}{3} ln ∣ e^{x} + 5 + 3 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 5 - 3 ∣)

Vereinfache

6 (\frac{4}{3} ln ∣ e^{x} + 5 + 3 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 5 - 3 ∣) : 6 (\frac{4}{3} ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 2 ∣)

= 6 (\frac{4}{3} ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 2 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 6 (\frac{4}{3} ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 2 ∣) + C

t a y l or (1 - x) e^{- x}

in v erse l a pl a ce \frac{1}{( s ^{2} + 9 )}

\int \frac{x ^{4} - 3 x ^{2} + 5}{x ^{4}} d x

x \to - 2 lim (\frac{x + 2}{2 x})

\int x sin^{2} (x^{2}) d x