integral of y/(y^3-1)

解答

\int \frac{y}{y ^{3} - 1} d y

\frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C

求解步骤

\int \frac{y}{y ^{3} - 1} d y

将

\frac{y}{y ^{3} - 1}

用部份分式展开:

\frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )}

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y + \int \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

\int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y = \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣

\int \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y = \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

解答补常数

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C

\int x e^{- 2 y} d x

\frac{\partial}{\partial x} (x \cdot e^{\frac{y}{z}})

n = 1 \sum \infty \frac{n}{n ^{5} + 1}

\frac{\partial}{\partial x} (z - x^{2} - y^{2})

\int \frac{1}{8 + 3 x} d x