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partialfraction (a^2+a^2+a+1)/(a^4-1)

Soluzione

frazioni parziali

\frac{a ^{2} + a ^{2} + a + 1}{a ^{4} - 1}

\frac{- a + 1}{2 ( a ^{2} + 1 )} - \frac{1}{2 ( a + 1 )} + \frac{1}{a - 1}

Fasi della soluzione

\frac{a ^{2} + a ^{2} + a + 1}{a ^{4} - 1}

Espandi

a^{2} + a^{2} + a + 1

\frac{2 a ^{2} + a + 1}{a ^{4} - 1}

Fattorizza

a^{4} - 1 : (a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)

= \frac{2 a ^{2} + a + 1}{( a + 1 ) ( a - 1 ) ( a ^{2} + 1 )}

Crea il modello di frazione parziale usando il denominatore

(a^{2} + 1) (a + 1) (a - 1)

\frac{2 a ^{2} + a + 1}{( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )} = \frac{a _{1} a + a}{a ^{2} + 1} + \frac{a _{2}}{a + 1} + \frac{a _{3}}{a - 1}

Moltiplica l'equazione per il denominatore

\frac{( 2 a ^{2} + a + 1 ) ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )} = \frac{( a _{1} a + a ) ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{a ^{2} + 1} + \frac{a _{2} ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{a + 1} + \frac{a _{3} ( a ^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}{a - 1}

Semplificare

2 a^{2} + a + 1 = (a_{1} a + a) (a + 1) (a - 1) + a_{2} (a^{2} + 1) (a - 1) + a_{3} (a^{2} + 1) (a + 1)

Risolvi i parametri sconosciuti inserendo le radici reali del denominatore:

- 1, 1

Per la radice del denominatore

- 1 : a_{2} = - \frac{1}{2}

Per la radice del denominatore

1 : a_{3} = 1

a_{2} = - \frac{1}{2}, a_{3} = 1

Inserisci le soluzioni nei parametri noti

2 a^{2} + a + 1 = (a_{1} a + a) (a + 1) (a - 1) + (- \frac{1}{2}) (a^{2} + 1) (a - 1) + 1 \cdot (a^{2} + 1) (a + 1)

Espandere

2 a^{2} + a + 1 = a_{1} a^{3} + \frac{a ^{3}}{2} + \frac{3 a ^{2}}{2} + \frac{a}{2} + \frac{1}{2} + a a^{2} - a_{1} a - a + 1

Estrai le variabili dalle frazioni

2 a^{2} + a + 1 = a_{1} a^{3} + \frac{1}{2} a^{3} + \frac{3}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} + a a^{2} - a_{1} a - a + 1

Raggruppa gli elementi in base alle potenze di

x

2 a^{2} + 1 \cdot a + 1 = a^{3} (a_{1} + \frac{1}{2}) + a^{2} (a + \frac{3}{2}) + a (\frac{1}{2} - a_{1}) + (1 + \frac{1}{2} - a)

Uguaglia i coefficienti dei termini simili sui due lati per creare una lista di equazioni

\frac{1}{2} - a + 1 = 1 \frac{1}{2} - a_{1} = 1 \frac{3}{2} + a = 2 a_{1} + \frac{1}{2} = 0

Risolvi il sistema di equazioni:

a = \frac{1}{2}, a_{1} = - \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}, a_{1} = - \frac{1}{2}

Inserisci le soluzioni ai parametri delle frazioni parziali per ottenere il risultato finale

\frac{( - \frac{1}{2} ) a + \frac{1}{2}}{a ^{2} + 1} + \frac{( - \frac{1}{2} )}{a + 1} + \frac{1}{a - 1}

Semplificare

\frac{- a + 1}{2 ( a ^{2} + 1 )} - \frac{1}{2 ( a + 1 )} + \frac{1}{a - 1}

x^{2} + (2 x + 2)^{2} = (3 x - 2)^{2}

7.2 > 0.9 (n + 8.6)

4 (- 2 x + 1) = 6 - (2 x - 4)

f a c t or a^{2} - 28 a + 196

s im pl i f y (3 - 6 n^{5} - 8 n^{4}) - (- 6 n^{4} - 3 n - 8 n^{5})