z^2(3-i)+5(1-i)z+2+16i=0

Lösung

z^{2} (3 - i) + 5 (1 - i) z + 2 + 16 i = 0

z = 1 - i, z = - 3 + 2 i

Schritte zur Lösung

z^{2} (3 - i) + 5 (1 - i) z + 2 + 16 i = 0

Ersetze

z = x + y i

(x + y i)^{2} (3 - i) + 5 (1 - i) (x + y i) + 2 + 16 i = 0

Schreibe

(x + y i)^{2} (3 - i) + 5 (1 - i) (x + y i) + 2 + 16 i

um:

(3 x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y + 5 x + 5 y + 2) + i (16 - x^{2} + y^{2} - 5 x + 5 y + 6 x y)

(3 x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y + 5 x + 5 y + 2) + i (16 - x^{2} + y^{2} - 5 x + 5 y + 6 x y) = 0

Schreibe

0

in der Standard komplexen Form um:

0 + 0 i

(3 x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y + 5 x + 5 y + 2) + i (16 - x^{2} + y^{2} - 5 x + 5 y + 6 x y) = 0 + 0 i

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[3 x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y + 5 x + 5 y + 2 = 0 16 - x^{2} + y^{2} - 5 x + 5 y + 6 x y = 0]

[3 x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y + 5 x + 5 y + 2 = 0 16 - x^{2} + y^{2} - 5 x + 5 y + 6 x y = 0] : (x = 1, x = - 3, y = - 1 y = 2)

Setze in

z = x + y i

ein

z = 1 - i, z = - 3 + 2 i

z^{2} = - 5 + i

(2 + i) x + (2 - i) y = 2 i

\frac{3}{x - y i} = \frac{1 + i}{2 - i}

4 x i + 3 y - 3 = x + 5 i - 8

z^{2} + z i = 2 i^{2}