簡約 e^{-iθ}(1+e^{iθ}+e^{2iθ})

解

簡約

e^{- i θ} (1 + e^{i θ} + e^{2 i θ})

cos (θ) (1 + cos (θ) + cos (2 θ)) + sin (θ) (sin (θ) + sin (2 θ))

解答ステップ

e^{- i θ} (1 + e^{i θ} + e^{2 i θ})

e^{- i θ} = cos (θ) - i sin (θ)

= (cos (θ) - i sin (θ)) (e^{i θ} + e^{2 i θ} + 1)

虚数の規則を適用する:

e^{ia} = cos (a) + i sin (a)

= (cos (θ) - i sin (θ)) (e^{2 i θ} + cos (θ) + i sin (θ) + 1)

虚数の規則を適用する:

e^{ia} = cos (a) + i sin (a)

= (cos (θ) - i sin (θ)) (cos (θ) + i sin (θ) + cos (2 θ) + i sin (2 θ) + 1)

複素数の算術規則を適用する:

(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

a = cos (θ), b = - sin (θ), c = 1 + cos (θ) + cos (2 θ), d = sin (θ) + sin (2 θ)

= (cos (θ) (1 + cos (θ) + cos (2 θ)) - (- sin (θ)) (sin (θ) + sin (2 θ))) + (cos (θ) (sin (θ) + sin (2 θ)) + (- sin (θ)) (1 + cos (θ) + cos (2 θ))) i

簡素化

cos (θ) (1 + cos (θ) + cos (2 θ)) - (- sin (θ)) (sin (θ) + sin (2 θ)) : cos (θ) (1 + cos (θ) + cos (2 θ)) + sin (θ) (sin (θ) + sin (2 θ))

cos (θ) (sin (θ) + sin (2 θ)) + (- sin (θ)) (1 + cos (θ) + cos (2 θ)) = 0

= (cos (θ) (1 + cos (θ) + cos (2 θ)) + sin (θ) (sin (θ) + sin (2 θ))) + 0 i

改良

= cos (θ) (1 + cos (θ) + cos (2 θ)) + sin (θ) (sin (θ) + sin (2 θ))