展開する (i(x-iy)^2)/((x+iy)^2)

解

展開する

\frac{i ( x - i y ) ^{2}}{( x + i y ) ^{2}}

\frac{4 x ^{3} y - 4 x y ^{3}}{x ^{4} + y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2}} + i \frac{x ^{4} + y ^{4} - 6 x ^{2} y ^{2}}{x ^{4} + y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2}}

解答ステップ

\frac{i ( x - i y ) ^{2}}{( x + i y ) ^{2}}

(x + i y)^{2} = x^{2} + 2 i x y - y^{2}

= \frac{i ( x - i y ) ^{2}}{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}}

(x - i y)^{2} = x^{2} - 2 i x y - y^{2}

= \frac{i ( x ^{2} - 2 i x y - y ^{2} )}{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}}

i (x^{2} - 2 i x y - y^{2}) : 2 x y + i (x^{2} - y^{2})

= \frac{2 x y + i ( x ^{2} - y ^{2} )}{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}}

有理化する

\frac{2 x y + i ( x ^{2} - y ^{2} )}{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}} : \frac{4 x y ( x ^{2} - y ^{2} ) + i ( x ^{4} - 6 x ^{2} y ^{2} + y ^{4} )}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

= \frac{4 x y ( x ^{2} - y ^{2} ) + i ( x ^{4} - 6 x ^{2} y ^{2} + y ^{4} )}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

標準的な複素数形式で

\frac{4 x y ( x ^{2} - y ^{2} ) + i ( x ^{4} - 6 x ^{2} y ^{2} + y ^{4} )}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

を書き換える:

\frac{4 x ^{3} y - 4 x y ^{3}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} + \frac{x ^{4} - 6 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} i

= \frac{4 x ^{3} y - 4 x y ^{3}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} + \frac{x ^{4} - 6 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} i