簡約-(1/3 log_{e}(1/3)+2/3 log_{e}(2/3))

解

簡約

- (\frac{1}{3} lo g_{e} (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} lo g_{e} (\frac{2}{3}))

- \frac{1}{3} ln (\frac{4}{27})

十進法表記

0.63651 \dots

解答ステップ

- (\frac{1}{3} lo g_{e} (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} lo g_{e} (\frac{2}{3}))

対数の規則を適用する:

a lo g_{c} (b) = lo g_{c} (b^{a})

\frac{1}{3} lo g_{e} (\frac{1}{3}) = lo g_{e} ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}})

= - (\frac{2}{3} lo g_{e} (\frac{2}{3}) + lo g_{e} ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}))

対数の規則を適用する:

a lo g_{c} (b) = lo g_{c} (b^{a})

\frac{2}{3} lo g_{e} (\frac{2}{3}) = lo g_{e} ((\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}})

= - (lo g_{e} ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}) + lo g_{e} ((\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}))

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (a) + lo g_{c} (b) = lo g_{c} (ab)

lo g_{e} ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}) + lo g_{e} ((\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}) = lo g_{e} ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}})

= - lo g_{e} ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}})

対数の規則を適用する:

lo g_{e} (x) = ln (x)

= - ln ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}})

簡素化

ln ((\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}) : \frac{1}{3} ln ((\frac{2}{3})^{2} \frac{1}{3})

= - \frac{1}{3} ln ((\frac{2}{3})^{2} \frac{1}{3})

(\frac{2}{3})^{2} = \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}}

= - \frac{1}{3} ln (\frac{1}{3} \cdot \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}})

乗じる

\frac{1}{3} \cdot \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}} : \frac{4}{27}

= - \frac{1}{3} ln (\frac{4}{27})