簡約 (k+q)^2e^{-iqa}+(k-q)^2e^{iqa}

解

簡約

(k + q)^{2} e^{- i q a} + (k - q)^{2} e^{i q a}

(2 q^{2} cos (a q) + 2 k^{2} cos (a q)) - 4 ik q sin (a q)

解答ステップ

(k + q)^{2} e^{- i q a} + (k - q)^{2} e^{i q a}

e^{- i q a} = cos (a q) - i sin (a q)

= (q + k)^{2} (cos (a q) - i sin (a q)) + e^{ia q} (- q + k)^{2}

e^{i q a} = cos (a q) + i sin (a q)

= (q + k)^{2} (cos (a q) - i sin (a q)) + (- q + k)^{2} (cos (a q) + i sin (a q))

= (k + q)^{2} (cos (a q) - i sin (a q)) + (k - q)^{2} (cos (a q) + i sin (a q))

(k + q)^{2} : k^{2} + 2 k q + q^{2}

= (k^{2} + 2 k q + q^{2}) (cos (q a) - i sin (q a)) + (k - q)^{2} (cos (q a) + sin (q a) i)

(k - q)^{2} : k^{2} - 2 k q + q^{2}

= (k^{2} + 2 k q + q^{2}) (cos (q a) - i sin (q a)) + (k^{2} - 2 k q + q^{2}) (cos (q a) + sin (q a) i)

拡張

(k^{2} + 2 k q + q^{2}) (cos (q a) - i sin (q a)) : k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q)

= k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q) + (k^{2} - 2 k q + q^{2}) (cos (q a) + sin (q a) i)

拡張

(k^{2} - 2 k q + q^{2}) (cos (q a) + sin (q a) i) : k^{2} cos (a q) + i k^{2} sin (a q) - 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) + i q^{2} sin (a q)

= k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q) + k^{2} cos (a q) + i k^{2} sin (a q) - 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) + i q^{2} sin (a q)

簡素化

k^{2} cos (a q) - i k^{2} sin (a q) + 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) - i q^{2} sin (a q) + k^{2} cos (a q) + i k^{2} sin (a q) - 2 k q cos (a q) - 2 ik q sin (a q) + q^{2} cos (a q) + i q^{2} sin (a q) : 2 q^{2} cos (a q) - 4 ik q sin (a q) + 2 k^{2} cos (a q)

= 2 q^{2} cos (a q) - 4 ik q sin (a q) + 2 k^{2} cos (a q)

標準的な複素数形式で

2 q^{2} cos (a q) - 4 ik q sin (a q) + 2 k^{2} cos (a q)

を書き換える:

(2 q^{2} cos (a q) + 2 k^{2} cos (a q)) - 4 k q sin (a q) i

= (2 q^{2} cos (a q) + 2 k^{2} cos (a q)) - 4 k q sin (a q) i