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簡約 (a+ib)^4

解

簡約

(a + ib)^{4}

解

(a^{4} - 6 a^{2} b^{2} + b^{4}) + (4 a^{3} b - 4 a b^{3}) i

解答ステップ

(a + ib)^{4}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = a, b = ib

= i = 0 \sum 4 (i 4) a^{(4 - i)} (ib)^{i}

総和を展開する

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} a^{4} (ib)^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} a^{3} (ib)^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} a^{2} (ib)^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} a^{1} (ib)^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} a^{0} (ib)^{4}

簡素化

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} a^{4} (ib)^{0} : a^{4}

簡素化

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} a^{3} (ib)^{1} : 4 i a^{3} b

簡素化

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} a^{2} (ib)^{2} : 6 i^{2} a^{2} b^{2}

簡素化

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} a^{1} (ib)^{3} : 4 i^{3} a b^{3}

簡素化

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} a^{0} (ib)^{4} : i^{4} b^{4}

= a^{4} + 4 i a^{3} b + 6 i^{2} a^{2} b^{2} + 4 i^{3} a b^{3} + i^{4} b^{4}

6 i^{2} a^{2} b^{2} = - 6 a^{2} b^{2}

4 i^{3} a b^{3} = - 4 ia b^{3}

i^{4} b^{4} = b^{4}

= a^{4} + 4 i a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} - 4 ia b^{3} + b^{4}

標準的な複素数形式で書き直す:

(a^{4} - 6 a^{2} b^{2} + b^{4}) + (4 a^{3} b - 4 a b^{3}) i

= (a^{4} - 6 a^{2} b^{2} + b^{4}) + (4 a^{3} b - 4 a b^{3}) i

人気の例

展開する (5x-x^3)^2sqrt(8+x^2)

e x p an d (5 x - x^{3})^{2} 8 + x^{2}

展開する (x^2)/((x+1)^3)

e x p an d \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{3}}

展開する 4/((2y+1)^2)

e x p an d \frac{4}{( 2 y + 1 ) ^{2}}

展開する 6a^{7/4}*(a^{7/4}+a^{3/4})

e x p an d 6 a^{\frac{7}{4}} \cdot (a^{\frac{7}{4}} + a^{\frac{3}{4}})

展開する (3+sqrt(5))^2

e x p an d (3 + 5)^{2}