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Beliebt >

-2(cos(2x)+sin(x))=0

Lösung

- 2 (cos (2 x) + sin (x)) = 0

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 2 (cos (2 x) + sin (x)) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- (cos (2 x) + sin (x)) \cdot 2

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 2 (1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x))

- (1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Löse mit Substitution

- (1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- (1 + u - 2 u^{2}) \cdot 2 = 0

- (1 + u - 2 u^{2}) \cdot 2 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- (1 + u - 2 u^{2}) \cdot 2 = 0

Faktorisiere

- (1 + u - 2 u^{2}) \cdot 2 : 2 (u - 1) (2 u + 1)

- (1 + u - 2 u^{2}) \cdot 2

Faktorisiere

- 2 u^{2} + u + 1 : - (2 u + 1) (u - 1)

- 2 u^{2} + u + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u^{2} - u - 1)

Faktorisiere

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} - u - 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} - u - 1

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = - 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

WahrPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falsch

u = 1, v = - 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Klammere

u

aus

2 u^{2} + u

aus

: u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u + 1)

Klammere

- 1

aus

- 2 u - 1

aus

: - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

= - (2 u + 1) (u - 1)

= 2 (u - 1) (2 u + 1)

2 (u - 1) (2 u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos(x)+cos^2(x)=1

cos (x) + cos^{2} (x) = 1

6tan(x)-5csc(x)=0

6 tan (x) - 5 csc (x) = 0

2(19)tan(θ/2)=6.3

2 (19) tan (\frac{θ}{2}) = 6.3

3csc(x)-6=0,0<= x<= 360

3 csc (x) - 6 = 0, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

tan(x/2+pi/3)=-1

tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1