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2cos(x)=sin(x)+1

Soluzione

2 cos (x) = sin (x) + 1

Soluzione

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.64350 \dots + 2 πn

Gradi

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 cos (x) = sin (x) + 1

Eleva entrambi i lati al quadrato

(2 cos (x))^{2} = (sin (x) + 1)^{2}

Sottrarre

(sin (x) + 1)^{2}

da entrambi i lati

4 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x)

Semplifica

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) : - 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 1 + 4

Aggiungi elementi simili:

- sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 5 sin^{2} (x)

= - 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 + 4

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 4 = 3

= - 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3

= - 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3

= - 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 3

3 - 2 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

3 - 2 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{3}{5}

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 5, b = - 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3 = 8

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Aggiungi i numeri:

4 + 60 = 64

= 64

Fattorizzare il numero:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Applicare la regola della radice:

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 8}{2 ( - 5 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 8}{- 2 \cdot 5}

Aggiungi i numeri:

2 + 8 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 5}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{- 10}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )} : \frac{3}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 8}{- 2 \cdot 5}

Sottrai i numeri:

2 - 8 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 5}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{- 10}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{10}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{3}{5}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 1, u = \frac{3}{5}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluzioni generali per

sin (x) = - 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{3}{5}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

2 cos (x) = sin (x) + 1

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Vero

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Per

2 cos (x) = sin (x) + 1

inserisci la

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 1

Affinare

0 = 0

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Vero

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Per

2 cos (x) = sin (x) + 1

inserisci la

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 cos (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = sin (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 1

Affinare

1.6 = 1.6

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Per

2 cos (x) = sin (x) + 1

inserisci la

x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 cos (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = sin (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 1

Affinare

- 1.6 = 1.6

\Rightarrow Falso

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.64350 \dots + 2 πn

Esempi popolari

cos(z)= 5/4

cos (z) = \frac{5}{4}

cos(B)= 3/8

cos (B) = \frac{3}{8}

sin(2x)=-3/2

sin (2 x) = - \frac{3}{2}

2sin^2(1/2 x)+C=-2cos(x/2)sin(x/2)+C

2 sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C = - 2 cos (\frac{x}{2}) sin (\frac{x}{2}) + C

4sec^2(x)=8

4 sec^{2} (x) = 8