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tan^2(x)=3-csc^2(x)

Soluzione

tan^{2} (x) = 3 - csc^{2} (x)

Soluzione

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Gradi

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan^{2} (x) = 3 - csc^{2} (x)

Sottrarre

3 - csc^{2} (x)

da entrambi i lati

tan^{2} (x) - 3 + csc^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 3 + csc^{2} (x) + tan^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 3 + csc^{2} (x) + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 3 + csc^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= - 3 + csc^{2} (x) + \frac{1}{csc ^{2} ( x ) - 1}

- 3 + csc^{2} (x) + \frac{1}{- 1 + csc ^{2} ( x )} = 0

Risolvi per sostituzione

- 3 + csc^{2} (x) + \frac{1}{- 1 + csc ^{2} ( x )} = 0

Sia:

csc (x) = u

- 3 + u^{2} + \frac{1}{- 1 + u ^{2}} = 0

- 3 + u^{2} + \frac{1}{- 1 + u ^{2}} = 0 : u = 2, u = - 2

- 3 + u^{2} + \frac{1}{- 1 + u ^{2}} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

- 1 + u^{2}

- 3 + u^{2} + \frac{1}{- 1 + u ^{2}} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

- 1 + u^{2}

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + \frac{1}{- 1 + u ^{2}} (- 1 + u^{2}) = 0 \cdot (- 1 + u^{2})

Semplificare

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + \frac{1}{- 1 + u ^{2}} (- 1 + u^{2}) = 0 \cdot (- 1 + u^{2})

Semplificare

\frac{1}{- 1 + u ^{2}} (- 1 + u^{2}) : 1

\frac{1}{- 1 + u ^{2}} (- 1 + u^{2})

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + u ^{2} )}{- 1 + u ^{2}}

1 \cdot (- 1 + u^{2}) = - 1 + u^{2}

1 \cdot (- 1 + u^{2})

Moltiplicare:

1 \cdot (- 1 + u^{2}) = (- 1 + u^{2})

= (- 1 + u^{2})

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= - 1 + u^{2}

= \frac{- 1 + u ^{2}}{- 1 + u ^{2}}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Semplificare

0 \cdot (- 1 + u^{2}) : 0

0 \cdot (- 1 + u^{2})

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1 = 0

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1 = 0

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1 = 0

Risolvi

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1 = 0 : u = 2, u = - 2

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1 = 0

Espandere

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1 : u^{4} - 4 u^{2} + 4

- 3 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1

Espandi

- 3 (- 1 + u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

- 3 (- 1 + u^{2})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = - 3, b = - 1, c = u^{2}

= - 3 (- 1) + (- 3) u^{2}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 u^{2}

= 3 - 3 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2}) + 1

Espandi

u^{2} (- 1 + u^{2}) : - u^{2} + u^{4}

u^{2} (- 1 + u^{2})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = u^{2}, b = - 1, c = u^{2}

= u^{2} (- 1) + u^{2} u^{2}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2}

Semplifica

- 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} : - u^{2} + u^{4}

- 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2}

1 \cdot u^{2} = u^{2}

1 \cdot u^{2}

Moltiplicare:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= u^{2}

u^{2} u^{2} = u^{4}

u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= u^{4}

= - u^{2} + u^{4}

= - u^{2} + u^{4}

= 3 - 3 u^{2} - u^{2} + u^{4} + 1

Semplifica

3 - 3 u^{2} - u^{2} + u^{4} + 1 : u^{4} - 4 u^{2} + 4

3 - 3 u^{2} - u^{2} + u^{4} + 1

Aggiungi elementi simili:

- 3 u^{2} - u^{2} = - 4 u^{2}

= 3 - 4 u^{2} + u^{4} + 1

Raggruppa termini simili

= u^{4} - 4 u^{2} + 3 + 1

Aggiungi i numeri:

3 + 1 = 4

= u^{4} - 4 u^{2} + 4

= u^{4} - 4 u^{2} + 4

u^{4} - 4 u^{2} + 4 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 4 v + 4 = 0

Risolvi

v^{2} - 4 v + 4 = 0 : v = 2

v^{2} - 4 v + 4 = 0

Risolvi con la formula quadratica

v^{2} - 4 v + 4 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 4, c = 4

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 4 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Sottrai i numeri:

16 - 16 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1} = 2

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Dividi i numeri:

\frac{4}{2} = 2

= 2

v = 2

La soluzione dell'equazione quadratica è:

v = 2

v = 2

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 2 : u = 2, u = - 2

u^{2} = 2

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 2, u = - 2

Le soluzioni sono

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 1, u = - 1

Prendere il denominatore (i) dell'

- 3 + u^{2} + \frac{1}{- 1 + u ^{2}}

e confrontare con zero

Risolvi

- 1 + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

- 1 + u^{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

- 1 + u^{2} = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

- 1 + u^{2} + 1 = 0 + 1

Semplificare

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

I seguenti punti sono non definiti

u = 1, u = - 1

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 2, u = - 2

Sostituire indietro

u = csc (x)

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (x) = 2

Soluzioni generali per

csc (x) = 2

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (x) = - 2

Soluzioni generali per

csc (x) = - 2

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Esempi popolari

2sin^2(u)=1+sin(u)

2 sin^{2} (u) = 1 + sin (u)

2tan^2(θ)-3tan(θ)+1=0

2 tan^{2} (θ) - 3 tan (θ) + 1 = 0

cos(x)= 9/17

cos (x) = \frac{9}{17}

-6sin(c)+0=sin(c)-3

- 6 sin (c) + 0 = sin (c) - 3

tan(x)= 11/12

tan (x) = \frac{11}{12}