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Beliebt >

2(-sin(x)+cos(2x))=0

Lösung

2 (- sin (x) + cos (2 x)) = 0

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 (- sin (x) + cos (2 x)) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(cos (2 x) - sin (x)) \cdot 2

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 2 (1 - 2 sin^{2} (x) - sin (x))

(1 - sin (x) - 2 sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Löse mit Substitution

(1 - sin (x) - 2 sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

(1 - u - 2 u^{2}) \cdot 2 = 0

(1 - u - 2 u^{2}) \cdot 2 = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

(1 - u - 2 u^{2}) \cdot 2 = 0

Faktorisiere

(1 - u - 2 u^{2}) \cdot 2 : - 2 (u + 1) (2 u - 1)

(1 - u - 2 u^{2}) \cdot 2

Faktorisiere

- 2 u^{2} - u + 1 : - (2 u - 1) (u + 1)

- 2 u^{2} - u + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u^{2} + u - 1)

Faktorisiere

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} + u - 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} + u - 1

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Klammere

u

aus

2 u^{2} - u

aus

: u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= - (2 u - 1) (u + 1)

= - 2 (u + 1) (2 u - 1)

- 2 (u + 1) (2 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u - 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x)-cos(x)=1,0<= x<= 2pi

sin (x) - cos (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

0=sin(0+c)

0 = sin (0 + c)

2+2cos(θ)= 2/(1+cos(θ))

2 + 2 cos (θ) = \frac{2}{1 + cos ( θ )}

14sin(2x)+7=0

14 sin (2 x) + 7 = 0

tan(3x)+sec(3x)=2

tan (3 x) + sec (3 x) = 2