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Popular >

tan(θ)tan(2θ)=1

Solução

tan (θ) tan (2 θ) = 1

Solução

θ = 0.52359 \dots + πn, θ = - 0.52359 \dots + πn

Graus

θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

tan (θ) tan (2 θ) = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

tan (θ) tan (2 θ) - 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + tan (2 θ) tan (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= - 1 + \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} tan (θ)

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} tan (θ) = \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} tan (θ)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

2 tan (θ) tan (θ) = 2 tan^{2} (θ)

2 tan (θ) tan (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= 2 tan^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 tan^{2} (θ)

= \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Usando o método de substituição

- 1 + \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Sea:

tan (θ) = u

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

Multiplicar ambos os lados por

1 - u^{2}

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

Multiplicar ambos os lados por

1 - u^{2}

- 1 \cdot (1 - u^{2}) + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 0 \cdot (1 - u^{2})

Simplificar

- 1 \cdot (1 - u^{2}) + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 0 \cdot (1 - u^{2})

Simplificar

- 1 \cdot (1 - u^{2}) : - (1 - u^{2})

- 1 \cdot (1 - u^{2})

Multiplicar:

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2})

= - (- u^{2} + 1)

Simplificar

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) : 2 u^{2}

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2})

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2} ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

1 - u^{2}

= 2 u^{2}

Simplificar

0 \cdot (1 - u^{2}) : 0

0 \cdot (1 - u^{2})

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

Resolver

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

Expandir

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} : - 1 + 3 u^{2}

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2}

- (1 - u^{2}) : - 1 + u^{2}

- (1 - u^{2})

Colocar os parênteses

= - 1 - (- u^{2})

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + u^{2}

= - 1 + u^{2} + 2 u^{2}

Somar elementos similares:

u^{2} + 2 u^{2} = 3 u^{2}

= - 1 + 3 u^{2}

- 1 + 3 u^{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

- 1 + 3 u^{2} = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

- 1 + 3 u^{2} + 1 = 0 + 1

Simplificar

3 u^{2} = 1

3 u^{2} = 1

Dividir ambos os lados por

3

3 u^{2} = 1

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 u ^{2}}{3} = \frac{1}{3}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1

Tomar o(s) denominador(es) de

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

e comparar com zero

Resolver

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - u^{2} = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 1, u = - 1

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Substituir na equação

u = tan (θ)

tan (θ) = \frac{1}{3}, tan (θ) = - \frac{1}{3}

tan (θ) = \frac{1}{3}, tan (θ) = - \frac{1}{3}

tan (θ) = \frac{1}{3} : θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (θ) = \frac{1}{3}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

tan (θ) = \frac{1}{3}

Soluções gerais para

tan (θ) = \frac{1}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn

θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

tan (θ) = - \frac{1}{3}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

tan (θ) = - \frac{1}{3}

Soluções gerais para

tan (θ) = - \frac{1}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Combinar toda as soluções

θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn, θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Mostrar soluções na forma decimal

θ = 0.52359 \dots + πn, θ = - 0.52359 \dots + πn

Exemplos populares

csc(x)-sin(x)=cot(x)*csc(x)

csc (x) - sin (x) = cot (x) \cdot csc (x)

sin(x)= 4/3

sin (x) = \frac{4}{3}

sec(x)=-1.8959

sec (x) = - 1.8959

sec^2(2x)=2

sec^{2} (2 x) = 2

1=sin(t)+sqrt(3)cos(t)

1 = sin (t) + 3 cos (t)